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数学悖论与三次数学危机

作　　者： 韩雪涛
ISBN(书号)： 9787535750099
从书名：
出版日期： 2007-1-1
版　　次： 1-1
开　　本： 32开
字　　数： 千字
　　

定　价：￥ 20.00

在这本书中，我们就是要通过对三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论（毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗紊悖论）的介绍，使读者明了悖论不但迷人，而且是数学的一部分，并为数学的发展提供了重要而持久的助推力。
　　然而，什么是悖论? 对这个看似简单的问题，我们却不能给出一个普遍适用的答案。因为，悖论之悖是因人因时而异的。比如，现代一般读者在“根号2是无理数”这一数学命题中很难看到古怪之处。然而，这一命题正是我们在第一编中所要介绍的毕达哥拉斯悖论，也正是它在古希腊成为一场巨大数学风波的导火索，从而引发了第一次数学危机，并进而引导古希腊数学走向一条迥异于其他古代民族数学的发展道路。一或许，对我们而言，如此平常的命题竟会导致数学危机并产生如此深刻影响才是真正的古怪之事! 由此得到的教益是，我们必须将悖论放在特定的背景下进行考察，才能透彻地明白其悖之因。鉴于此，在这本书中我们将对毕达哥拉斯等悖论产生前的背景做出详尽介绍。在此基础上，再对它们所引发的数学危机、危机之解决、悖论解决过程中产生的各种数学成果、悖论解决后产生的深远影响等做出透彻阐述。
　　于是，读者朋友将会注意到，在这次数学之旅中对悖论的介绍只占全书内容的不多部分。事实上，悖论在书中起的是引线的作用，我们围绕着它们将更多地介绍悖论之花得以绽放的数学土壤和悖论之花结出的数学之果。通过这种视野更为宽阔的阐述，希望读者既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识，并理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的。本书还将数学思想融于其中，并注意穿插数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体，既增加读者的兴趣，又有助于增进读者对“数学家是什么样的人”、“数学是什么”的了解。

第一章几何定理中的“黄金”：勾股定理
提到勾股定理，学过平面几何的读者们一定不会陌生。我们的这次数学之旅就将从这个历史悠久、应用广泛、又极受人们偏爱的定理起锚开航。
第一节古老的定理
勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数学发现之一。世界上各大文明古国都在很早的时候独立发现了这个“勾股弦关系”，并对它有着不同程度的认识和了解。毫不夸张地说，它是人类最早认识并被广泛使用的数学定理之一。
中国是较早发现、认识勾股定理的文明古国之一。在《周髀算经》一书中有我国关于这一定理的最早文字记录。
《周髀算经》，原名《周髀》，全书分上下两卷，是我国现存最古的天文学著作。关于它的成书年代，长期以来说法不一，一般认为成书于约公元前1世纪。
在我国，古代天文历法研究与数学有着极为紧密的联系，《周髀》一书就是一个很好的例证。在这本主要阐明“盖天说”和“四分历法”的天文学著作中，包含了丰富的数学内容。除极为珍贵的关于我国古代对勾股定理的认识资料外，书中还涉及勾股测量术（利用相似直角三角形对应边成比例进行测量的方法）、复杂的分数运算等多方面的数学研究成果。因此，这本阐明天文学理论的著作又被看做是最早的数学著作之一。从唐代起，《周髀》被列入“算经十书”，并称为《周髀算经》。
这本书上卷开篇写道：“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方；圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治天下者。此数之所生也。”
周公（约生活于公元前11世纪），姓姬名旦，是周武王的弟弟。商高是周朝的大夫。上面一段古文记述了两人的对话，让我们先来简单解释一下。
周公问商高：“古时包牺作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺来量度。请问数是从哪里得来的呢？也就是说，那些有关天高地大的数值是如何得到的呢？”
对周公的疑问，商高回答说：“数是根据圆和方的道理得来的。圆从方得来，方又是从矩得来的。矩是根据计算得出来的。”矩，这里可以解释为直角三角形。进一步，商高提供了具体的测量方法：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。……”对这一句可理解为：“作一个直角三角形，如果短直角边（勾）是3，长直角边（股）是4，那么斜边（弦）就是5。”这清楚表明，在当时商高已经知道“勾三股四弦五”这一勾股定理的特例。在书中随后的对话“故禹之所以治天下者”中，商高还将这一特例的发现推到大禹治水时期。如果承认这一点，那么我国对勾股定理的最初了解就可以上溯到公元前21世纪。“此数之所生也”，商高最后的结论是，通过这种“勾股术”就可以测量天高地大了。
从多次实践中了解勾股定理的特殊情况，这是对勾股定理认识的第一步。下一步则是发现普遍勾股定理。我国对此的最早认识也是记载在《周髀算经》一书中。
本书上卷还记录了荣方与陈子两个人的一段问答。当陈子在向荣方解释如何求出观测者到太阳的距离时，他说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日……”。“自乘”指的是我们现在的平方，因此“勾股各自乘，并而开方除之”一句已经给出了求弦的一般方法。这说明陈子已经了解了勾股定理的一般形式。现在一般认为陈子是公元前6~7世纪的人，因此，我国最迟于这个时候已明确认识了普遍勾股定理。
在介绍了勾股定理在中国的情况后，我们再来看看另几个文明古国对它的认识情况。
古印度关于勾股定理的认识记载在印度古老文献《测绳的法规》中。此书成书年代很不确定，大约是公元前800年到公元前200年的产物。书中记有：“正方形斜线上方形为原方形之倍”，这自然只是勾股定理的一种特例情况。进而书中又给出了普遍勾股定理的表述：“长方形对角线所给出的面积，等于长与宽所分别给出的面积之和。”
对古埃及早期关于勾股定理的了解情况，后人主要是通过推断做出的。
埃及以金字塔闻名于世。推想当时古埃及人在建筑金字塔时一定会遇到许多难题，比如金字塔的塔基是一个很大的正方形，这么大的正方形怎么画法？那时候所用的工具大概只有绳子。四条边的长度相等这容易做到，关键在于确定直角。另外，金字塔所用的石块都是很规则的，它是由石头磨制而成的。为了保证石块的方正，关键也在于确定直角。确定直角过程中，产生的任何一点误差，都会使金字塔变形，甚至造不成。然而，古埃及人不但建成了金字塔，而且精度还非常高。比如埃及开罗附近吉萨村大金字塔底面正方形的边长为23045米，长度误差约13厘米，而直角误差只有12″。如果没有做直角的可靠方法，是达不到这样高的精度的。另外，古埃及人在尼罗河泛滥之后要重新划分田地，这就需要经常进行土地丈量，在这种丈量中也会遇到做直角的问题。那么，古埃及人是如何做的呢？
数学史家推测古埃及的测量人员（他们的专名叫“拉绳者”）是利用3︰4︰5的关系来做出直角的。具体可以这样完成：先将绳子等分为12段，在绳上打结，以三段、四段、五段为边围成一个三角形，那么五段长的边所对的角或者说两段稍短些的绳子之间便构成了一个直角。
因而，古埃及关于勾股定理的最早认识是通过对勾股定理的逆定理（中学教科书中称之为直角三角形的判别条件）的应用体现出来的。当他们利用三边为3︰4︰5的三角形一定是直角三角形这一结论时，就是应用了勾股定理逆定理的一个特例。后来人们还把边长为3、4、5的直角三角形叫做埃及三角形。事实上，这种用埃及三角形确定直角的方法，至今仍为有些石匠师傅所采用。他们在建造房屋时，就是用它来画屋基的四个角的。
容易看到，人类最早对勾股定理的认识往往与以整数为边的直角三角形（勾股形）联系在一起。现在我们一般把整边勾股形三边称为勾股数，也叫商高数，或按国外称法叫毕达哥拉斯数。显然，勾股数是与勾股定理密切相关的数学概念，因而在对更多勾股数的认识与使用中可以体现出人类对勾股定理了解的深入。
当我们提到《周髀算经》中“勾广三，股修四，径隅五”，或古埃及人用3、4、5确定直角时，已经给出了一组勾股数（3，4，5）。这也是各古代民族最早找到的一组勾股数。我国最晚成书于公元1世纪下半叶的《九章算术》一书在“勾股章”中，使用了八组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；（20，21，29）；（20，99，101）；（48，55，73）；（60，91，109）。古印度《测绳的法规》中出现了五组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（12，35，37）。
就现有的史料看，在勾股定理和勾股数方面，曾生活在幼发拉底河及底格里斯河流域的古巴比伦人取得了更加突出的成就，远远走在其他文明古国的前面。
在发现的一些公元前1700年左右的古巴比伦泥板中已经有许多勾股定理的应用题，在这些题目中涉及了勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（20，21，29）。古巴比伦人在勾股定理的认识上取得的最大的也是最令人惊叹的成就体现在一块长127厘米，宽88厘米的泥板中。这块泥板现珍藏在纽约哥伦比亚大学精品图书馆，编号为“普林顿322”（Plimpton 322）。经过鉴定，确认年代为公元前1900～前1600年。
最初人们以为这块泥板是巴比伦人的一份商业记录，没有什么重要意义。1945年，一位巴比伦考古学家及数学家奥图·奈克包威尔（1899～1990）与他的助手做出了新的成功解释。他们撰文指出，泥版所记为勾股数。在这个实物证据中，共列出了15组勾股数。其中最大的一组斜边是18541，一个直角边是12709！更令人惊讶的是它在时间上比其他古国早了1000多年！其数之大和年代之早都令人难以置信。
体现出古巴比伦人对勾股定理认识之深的还有另一项发现。人们是通过一块现收藏于耶鲁大学博物馆的编号为YBC7289的泥板实物证据了解他们的这项发现的。如下图所示（左图中数字是古巴比伦所使用的楔形文字，为了容易明白，右图换成了阿拉伯数字）上面刻有一个正方形，并画出了对角线。对角线上写了一行数字，即（1，24，51，10）。
古巴比伦人用的是60进位制，这一行数字化为10进小数，即：
（1，24，51，10）＝1+24 60+51 602+10 603=141421296…
这正是按勾股定理算出来的单位正方形对角线2的值。作为近似值，它的准确数字有7位，与真值的差只有6×10-7。这行数下面还有一行数，那是干什么的呢？我们可以看到正方形上面一边的上方有一个数30，意思是正方形的边为30，因而可以想到表示2一行数下面的一行是边长为30的正方形的对角线长。我们把42，25，35变成十进制小数，果不其然，可得到：42+25 60+35 602≈4242638889，与精确值302（约为4242640687）是非常近似的。
我们上面提到的古印度文献《测绳的法规》中有一项类似的重要成就，也是给出正方形对角线的近似值。书中有一句话是：“给这个量（指正方形的边，设为a）加上它的1／3，再加上这个（指1／3）的1／4，减去它［指1/（3·4）］的1／34，便是对角线。”用我们现在的式子可表示为对角线d=a+a 3+a 3·4-a 3·4·34。
如果取正方形边长为1，则得到
2=1+1 3+1 3·4-1 3·4·34，化为小数是141421568……。这个值与真实误差是21×10-6，已经是 2的很好近似值了。然而，这个结果与古巴比伦人取得的成就相比仍然相形见绌：古巴比伦人的结果，不仅比古印度人更准确，而且在时间上要早1000多年！
第二节勾股定理的广泛应用及其地位
勾股定理不仅是一条历史悠久的古老定理，也是一条用处十分广泛的定理。对于中国传统数学而言，它更是一大法宝。
在我国《九章算术》“勾股”章中，就已包括了极其丰富的有关勾股定理应用的内容。在这一章中，共包括24个问题，内容可分四类。
第一类（第1~第13题），是直接利用勾股定理解决的应用问题，涉及的内容是勾股互求。自然，最简单的是已知勾、股、弦三者中的两个，求另一个。根据书中给出的“勾股术”（勾股各自乘，并而开方除之，即弦）这是很容易解决的。复杂些的问题涉及已知勾股形三边中两者的和差等条件，求各未知边。比如书中第12题：有一门户不知高、宽，有人持一竹竿，不知长短，横着出门，长了4尺，竖着出门，长了2尺，斜着恰好能出门。问门的高、宽、斜各多少？如果把门户的高、宽、斜分别作为勾、股、弦，那么这道题就相当于已知弦勾差c-a、弦股差c-b，求勾、股、弦的问题。书中给出了算法，用现在的符号可表示为：
a= 2(c-a)(c-b)+(c-b)，
b= 2(c-a)(c-b)+(c-a)，
c= 2(c-a)(c-b)+(c-b)+(c-a)。
书中还有许多属于这类勾股互求的趣题，如第6题“引葭赴岸问题”（今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？）、第13题“折竹问题”（今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？）都是有名的历史趣题。更有意味的是，与这两题完全类似的问题后来曾在许多国家出现，如印度莲花问题实际上就可看做“引葭赴岸”题的改写。
自《九章算术》问世后，我国古代许多数学家还对勾股互求问题作了进一步的研究与发展。人们陆续引入a+b±c、c±(b-a)、1 2ab等项，得到更多的基本类型，并对这些新的类型加以研究，提出相应公式或算法。从本质上说，这些公式和算法都是勾股定理的推广。因而，我们可以把这一整套围绕勾股定理的算法或公式称为勾股算术。
第二类（第14题）涉及勾股数，我们后面再做介绍。
第三类（第15题、第16题）是勾股容方和容圆问题。勾股容方问题是：已知勾股形勾5步，股12步，问所容正方形边长是多少？《九章》给出公式：d= ab a+b。勾股容圆问题是：已知勾股形勾8步，股15步，问其中容圆之径多少？《九章》的公式是d=2ab a+b+c。勾股容圆在宋元时代成为重要的研究课题。人们考虑了各种容圆问题。元朝数学家李冶在《测圆海镜》中给出10种容圆关系，成为一部专论此题材的名著。
第四类（第17题～第24题）是利用相似勾股形对应边成比例的关系解决的测量问题。
我国传统三角学中没有角的概念，没有角的度量，也没有与此相关的平行性与相似性理论。事实上，我国古代三角学是以勾股定理为基础的勾股计算理论及以勾股比率为基础的测量理论。“勾股”章中这最后几题在我国最早系统地论述了勾股计算与勾股测量理论。后世的一些数学家在此基础上，又对勾股测量方法做了进一步发展。
通过上面稍嫌繁琐的介绍，我们可以一窥勾股定理在我国传统数学中所占有的独特地位了。事实上，勾股定理是我国2000多年来数学发展的一个重要的生长点。中国数学中的许多精髓，追根溯源都与勾股定理有这样或那样的关系。尤其是中国式几何学，更是以勾股定理及其应用为核心的。
通过我国清朝著名数学家梅文鼎(1633～1721)的几段话，我们可以进一步体会这一点。在其第一部数学著作《方程论》中他写道：“数学一也，分之则有度有数；度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股。”其中的量法指的是几何学。这段话强调了直角三角形的有关性质和算法在中国式几何学中的位置。在《几何通解》中他又写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也。故其最难通者，以勾股释之则明。……信古《九章》之义，包举无方。”又在《勾股举隅》中说：“勾股之用，于是乎神。言测量至西术详矣。究不能外勾股以立算，故三角即勾股之变通，八线乃勾股之立成也。”当西方几何学传入后，梅文鼎错误地认为西方几何学，无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西。但如他所指出的，要想搞清中国古代几何学的原貌，就得从勾股定理及勾股形的有关性质谈起，这是不错的。
当然，勾股定理不仅仅对中国传统数学如此重要。实际上，勾股定理与它的推论、推广除在现实世界中有着广泛的应用外，还在数学理论的发展中发挥着极其重要的作用。
在平面几何中，这个美妙、著名且有用的定理像一颗明珠，光彩夺目。天文学家开普勒曾把它喻为几何定理中的“黄金”，应该说勾股定理实在是受之无愧的！不仅如此，更重要的是，勾股定理作为一条十分重要而又很著名的数学基本定理，还深入到数学的许多分支中，数学中的许多数学公式和命题都是由它推导出来或是建立在它的基础之上的。
可以说，在数学上，勾股定理曾经是并且至今仍是贯穿许多数学领域的一个不可缺少的工具。如果要举一条数学中最重要的定理，恐怕非他莫属。以下趣闻可为佐证。
1955年希腊为了纪念2500年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案由三个棋盘排列而成。
1971年，尼加拉瓜政府发行了名为世界上“最重要的10个数学公式”的一套邮票，各枚邮票的插图上都印有选定的公式，邮票的背面简略说明了该公式的重要性。这套邮票中第二张就是勾股定理。
我国著名已故数学家华罗庚还曾想到用勾股定理来作为与外星文明进行第一次谈话的语言。在《数学的用场和发展》一文中他写道：“如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在。我们用什么东西作为我们之间的媒介？带幅画去吧，那边风景特殊，不了解。带一段录音去吧，也不能沟通。我看最好带两个图形去。一个‘数’，一个‘数形关系’（勾股定理）。”
由此可见，勾股定理受到人们何等的偏爱，又在人们心目中居于何等重要的位置了。

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